分散式の変形

分散の式変形メモ。単純に表でデータが与えられていた際など要注意。まずは自由度で割る分散の式から。

$s^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2}$

右辺側を変形していく。カッコの中を展開し $\bar{x}$ は定数なので

$\frac{1}{n-1}(\sum{x_i^2}-2\bar{x}\sum{x_i}+n\bar{x}^2)$

ここで

$\bar{x}$ は $\frac{1}{n}\sum{x_i}$ なので

$\frac{1}{n-1}(\sum{x_i^2}-2\bar{x}\sum{x_i}+\bar{x}\sum{x_i})$

整理すると分散は

$s^2=\frac{1}{n-1}(\sum{x_i^2}-\bar{x}\sum{x_i})$

ここで以下のような表が与えられていた場合の分散を求めてみると

$\frac{1}{n-1}=\frac{1}{19}$

$\sum{x_i^2}=13275$

$\bar{x}=24.75$

$\sum{x_i}=495$

から、分散は 53.88 と導ける(小数点第3位を四捨五入)